Question

如圖，在長方體ABCD ?A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2，E，F分別是棱AB，BC上的點，且EB＝FB＝1.

(1)求異面直線EC1與FD1所成角的余弦值；

(2)試在面A1B1C1D1上確定一點G，使DG⊥平面D1EF.

 

Answer 1

（1）（2）當點G在面A1B1C1D1上，且到A1D1，C1D1距離均為時，DG⊥D1EF.

【解析】(1)以D為原點，，，分別為x軸，y軸，z軸的正向建立空間直角坐標系，

則有D(0，0,0)，D1(0,0,2)，C1(0,4,2)，E(3,3,0)，F(2，4,0)，

于是＝(－3,1,2)，＝(－2，－4,2)．

設EC1與FD1所成角為α，則cos α＝＝

∴異面直線EC1與FD1所成角的余弦值為.

(2)因點G在平面A1B1C1D1上，故可設G(x，y,2)．

＝(x，y,2)，＝(－2，－4，2)，＝(－1,1,0)．由

得解得

故當點G在面A1B1C1D1上，且到A1D1，C1D1距離均為時，DG⊥D1EF