Question

已知函數．
（1）若函數在時取得極值，求實數的值；
（2）若對任意恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）先求導函數，進而根據題中條件得出，從可即可求解出的值，注意，根據函數在某點取得極值去求參數的值時，往往必須進行檢驗，也就是將所求得的的值代回原函數，看看是否真的在該點處取得極值，如果不是必須舍去，如果是則保留；（2）先將對任意恒成立等價轉化為在恒成立，進而求出導函數并進行因式分解得到，進而分、兩類分別確定的單調性，隨之確定，然后分別求解不等式，解出的取值范圍，最后取這兩種情況下的的取值范圍的并集即可.
（1），依題意有：，即
解得：
檢驗：當時，
此時：函數在上單調遞減，在上單調遞增，滿足在時取得極值
綜上：                               5分
（2）依題意：對任意恒成立等價轉化為在恒成立 6分
因為
令得：                      8分
當即時，函數在恒成立，則在單調遞增，于是，解得：，此時：            10分
②當即時，函數在單調遞減，在單調遞增，于是，不合題意，此時：
綜上所述：實數的取值范圍是        12分.
說明：本題采用參數分離法或者先用必要條件縮小參數范圍也可以.