Question

正方形ABCD的 邊長是a，依次連結正方形ABCD各邊中點得到一個新的正方形，再依次連結正方形各邊中點又得到一個新的正方形，依此得到一系列的正方形，如圖所示．現有一只小蟲從A點出發，沿正方形的邊逆時針方向爬行，每遇到新正方形的頂點時，沿這個正方形的邊逆時針方向爬行，如此下去，爬行了10條線段．則這10條線段的長度的平方和是（　　）

• A．

  1023

  2048

  a2
• B．

  1023

  768

  a2
• C．

  511

  1024

  a2
• D．

  2047

  4096

  a2

Answer 1

分析：根據中位線定理，每一次連接得到的正方形的邊長是上一個正方形對角線的一半，即可第一、二、三次連接得到的正方形的邊長，依此類推找出規律，可得出第n次圍出的正方形的邊長，再由題意和等比數列的前n項和公式求出所要求出的值．

解答：解：由題意得，每一次連接得到的正方形的邊長是上一個正方形對角線的一半，
根據中位線定理依次得：
第一次連接得到的正方形的邊長為

2

2

a，第二次連接得出的正方形的邊長為(

2

2

)2a=

1

2

a，
第三次次連接得出的正方形的邊長為

2

4

a，…
綜上可得第n次圍出的正方形邊長為(

2

2

)na，
由題意知，一只小蟲在每個正方形爬行的線段的長度是此正方形的邊長的一半，
所求的10條線段的長度的平方和是：
s=

a2

4

[1+(

2

2

)2+(

2

2

)4+…+(

2

2

)18]=

a2

4

×

1- 1 210

1- 1 2

=

1023

2048

a2，
故選A．

點評：本題以圖形的變化為載體，考查了歸納推理的應用，中位線定理，等比數列的前n項和公式，解題的關鍵是通過觀察、歸納與總結，得到其中的規律，求出第n次圍出的正方形的邊長．