Question

已知

i

，

j

分別是與x軸，y軸正方向相同的單位向量，

OB1

=a

i

-6

j

（a∈R），對任意正整數n，

BnBn+1

=6

i

+3•2n-1

j

．
（1）若

OB1

⊥

B2B3

，求a的值；
（2）求向量

OB3

；
（3）求向量

OBn

（用n、a表示）

Answer 1

分析：可得

OB1

=(a，-6)，

BnBn+1

=（6，3•2^n-1）；
（1）由題意可得

OB1

•

B2B3

=0，解方程即可；
（2）

OB3

=

OB1

+

B1B2

+

B2B3

，代入運算可得；
（3）

OBn

=

OB1

+

B1B2

+

B2B3

+…+

Bn-1Bn

=（a，-6）+（6，3）+（6，6）+…+（6，3•2^n-2），由等比數列的求和公式化簡可得．

解答：解：由題意可得

OB1

=(a，-6)，

BnBn+1

=（6，3•2^n-1），
（1）可得

B2B3

=（6，3•2^2-1）=（6，6），
由

OB1

⊥

B2B3

可得

OB1

•

B2B3

=6a-36=0，解得a=6；
（2）

OB3

=

OB1

+

B1B2

+

B2B3

=（a，-6）+（6，3）+（6，6）=（a+12，3）；
（3）同（2）可得

OBn

=

OB1

+

B1B2

+

B2B3

+…+

Bn-1Bn

=（a，-6）+（6，3）+（6，6）+…+（6，3•2^n-2）
=（a+6n-6，-6+3•2⁰+3•2¹+…+3•2^n-2）
=（a+6n-6，-6+3•

1-2n-1

1-2

）
=（a+6n-6，3•2^n-1-9）

點評：本題考查向量的加減的運算，涉及數量積和等比數列的求和公式，屬中檔題．