Question

如圖，在長方體中，，且．

（I）求證：對任意，總有；
（II）若，求二面角的余弦值；
（III）是否存在，使得在平面上的射影平分？若存在, 求出的值, 若不存在，說明理由．

Answer 1

（I）見解析（II）（III）存在

解析試題分析：（I）以為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，設，則，
，從而，
，即．　　                                           ……4分
（II）由（Ｉ）及得，，
設平面的法向量為，則，
從而可取平面的法向量為，
又取平面的法向量為，且設二面角為，
所以　　　　　                                            ……8分
（III） 假設存在實數滿足條件，由題結合圖形，只需滿足分別與所成的角相等，
即，即，
解得 ．
所以存在滿足題意得實數，
使得在平面上的射影平分.                                    ……12分
考點：本小題主要考查長方體中的線線垂直的證明、二面角的求法及綜合應用問題，考查學生的空間想象能力和利用空間向量解決立體幾何問題的能力，考查學生的空間想象能力和運算求解能力以及分析問題解決問題的能力.
點評：立體幾何問題可以轉化為用空間向量來解決，可以省去作二面角、線面角等步驟之間求解，但是求解時一定要注意運算的準確性.