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已知函數(為常數,是自然對數的底數),曲線在點處的切線與軸平行.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的單調區間;
(Ⅲ)設,其中為的導函數.證明:對任意.

（1）
（2）在區間內為增函數;在內為減函數.
（3）構造函數借助于導數分析函數單調性，進而得到求解最值來得到證明。

解析試題分析：解析:由f(x) = 可得,而,即,解得;   4分
(Ⅱ),令可得,
當時,;當時,.
于是在區間內為增函數;在內為減函數.      8分
(Ⅲ),
(1)當時, ,.  10分
(2)當時,要證.
只需證即可
設函數.
則,
則當時,
令解得,
當時;當時,
則當時,且,
則,于是可知當時成立
綜合(1)(2)可知對任意x>0,恒成立.          14分
另證1:設函數,則,
則當時,
于是當時,要證,
只需證即可,
設,,
令解得,
當時;當時,
則當時,
于是可知當時成立
綜合(1)(2)可知對任意x>0,恒成立.
另證2:根據重要不等式當時,即,
于是不等式,
設,,
令解得,
當時;當時<

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數(為非零常數).
（Ⅰ）當時，求函數的最小值； 
（Ⅱ）若恒成立，求的值；
（Ⅲ）對于增區間內的三個實數(其中)，
證明：.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數.
（1）求的單調遞增區間；
（2）若在處的切線與直線垂直，求證：對任意，都有；
（3）若，對于任意，都有成立，求實數的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數
（Ⅰ）求函數的圖像在處的切線方程；
（Ⅱ）設實數，求函數在上的最小值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設函數
(1)求的單調區間；
(2)若關于的方程在區間上有唯一實根，求實數的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知在處取得極值
（1）求值
（2）求函數的單調遞增區間.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數．
(Ⅰ)若在上的最大值為，求實數的值；
(Ⅱ)若對任意，都有恒成立，求實數的取值范圍；
(Ⅲ)在(Ⅰ)的條件下，設，對任意給定的正實數，曲線 上是否存在兩點，使得是以（為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上？請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設函數.
(1)求函數的單調區間和極值。
(2)若關于的方程有三個不同實根，求實數的取值范圍；
(3)已知當(1，＋∞)時，恒成立，求實數的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數
（1）當時，求函數在上的最大值和最小值；
（2）討論函數的單調性；
（3）若函數在處取得極值，不等式對恒成立，求實數的取值范圍。

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