Question

動圓M過定點A（-，0），且與定圓A?：（x-）²+y²=12相切．
（1）求動圓圓心M的軌跡C的方程；
（2）過點P（0，2）的直線l與軌跡C交于不同的兩點E、F，求•的取值范圍．

Answer 1

解：（1）A?（，0），依題意動圓與定圓相內切，
∴|MA?|+|MA|=2＞2             
∴點M的軌跡是以A?、A為焦點，2為長軸上的橢圓，
∵a=，c=
∴b²=1
∴點M的軌跡方程為        
（2）解：設l的方程為x=k（y-2）代入，消去x得：（k²+3）y²-4k²y+4k²-3=0
由△＞0得16k⁴-（4k²-3）（k²+3）＞0，∴0≤k²＜1       
設E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
則y₁+y₂=，y₁y₂=
又=（x₁，y₁-2），=（x₂，y₂-2）
∴•=x₁x₂+（y₁-2）（y₂-2）=k（y₁-2）•k （y₂-2）+（y₁-2）（y₂-2）
=（1+k²）（-2×+4）=9（1-）              
∵0≤k²＜1，∴3≤k²+3＜4
∴•∈[3，）         
分析：（1）依題意動圓與定圓相內切，可得|MA?|+|MA|=2＞2，利用橢圓定義，即可求出動圓圓心M的軌跡的方程；
（2）設出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理即向量數(shù)量積公式，即可求得•的取值范圍．
點評：本題考查橢圓的定義，考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．