Question

（1）設f（θ）=

2cos3θ+sin2(2 π-θ)+sin( π 2 +θ)-3

2+2cos2(π+θ)+cos(-θ)

，求f（

π

3

）的值；
（2）已知

2sinθ+cosθ

sinθ-3cosθ

=-5，求 sin²θ-3sinθcosθ+4cos²θ的值．

Answer 1

分析：（1）首先利用誘導公式化簡原式，然后將

π

3

代入并用特殊三角函數值求出結果．
（2）由cosθ不等于0，在已知的等式的左邊的分子分母都除以cosθ，得到關于tanθ的方程，求出方程的解即可得到tanθ的值，然后把所求的式子寫成分母為“sin²θ+cos²θ=1”的分式，再化為關于tanθ的式子后，將tanθ的值代入即可求出值．

解答：解：（1）原式=

2cos3θ+sin2θ+cosθ-3

2+2cos2θ+cosθ

=

2cos3θ+1-cos2θ+cosθ-3

2+2cos2θ+cosθ

=

2(cosθ-1)(cos2θ+cosθ+1)-cosθ(cosθ-1)

2+2cos2θ+cosθ

=

(cosθ-1)(2cos2θ+2cosθ-cosθ+2)

2+2cos2θ+cosθ

=cosθ-1
∵cos

π

3

=

1

2

∴f（

π

3

）=

1

2

-1=-

1

2

（2）∵

2sinθ+cosθ

sinθ-3cosθ

=-5，，且cosθ≠0（否則2=-5），
∴

2tanθ+1

tanθ-3

=-5（　　）
解得：tanθ=2
原式=

sin2θ-3sinθcosθ+4cos2θ

sin2θ+cos2θ

=

tan2θ-3tanθ+4

tan2θ+1

=

22-3×2+4

22+1

=

2

5

點評：此題考查學生靈活運用同角三角函數間的基本關系及弦切互化公式化簡求值，是一道中檔題．