Question

已知圓C與x軸相切，圓心在直線y=3x上，且被直線2x+y-10=0截得的弦長為4，求此圓的方程．

Answer 1

分析：由圓心在直線y=3x，設出圓心C的坐標為（a，3a），又圓C與x軸相切，可得圓的半徑為|3a|，然后利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線y=3x的距離d，再由弦長求出弦長的一半，進而根據垂徑定理及勾股定理列出關于a的方程，求出方程的解得到a的值，進而確定出圓心C的坐標及圓的半徑，由圓心和半徑寫出圓的方程即可．

解答：解：設圓心C（a，3a），由題可知：圓的半徑r=|3a|，
∵圓心到直線2x+y-10=0的距離d=

|5a-10|

5

，又弦長的一半為2，
∴由垂徑定理可知：r²=d²+2²，即9a²=

(5a-10)2

5

+4，
整理得：（a+6）（a-1）=0，
解得：a=1或-6，
∴圓心C（1，3），r=3，或圓心C（-6，-18），半徑r=18，
則圓的方程為：（x-1）²+（y-3）²=9或（x+6）²+（y+18）²=324．

點評：此題考查了直線與圓相交的性質，涉及的知識有：圓的標準方程，點到直線的距離公式，垂徑定理及勾股定理，當直線與圓相交時，常常根據垂徑定理由垂直得中點，進而由弦長的一半，圓的半徑及弦心距構造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．