Question

已知函數y=

kx2-6kx+k+8

的定義域是R．
（1）求實數k的取值范圍；
（2）設k變化時，已知函數的最小值為f（k），求f（k）的表達式及函數f（k）的值域．

Answer 1

分析：（1）由函數y=

kx2-6kx+k+8

的定義域是R，知kx²-6kx+k+8≥0的解集是R，由此能求出實數k的取值范圍．
（2）當k=0時，f（k）=

8

=2

2

；當k≠0時，kx²-6kx+k+8的對稱軸x=3，f（k）=

9k-18k+k+8

=

8-8k

，由0＜k≤1，知0≤f（k）＜2

2

．由此能求出f（k）的表達式及函數f（k）的值域．

解答：解：（1）∵函數y=

kx2-6kx+k+8

的定義域是R，
∴kx²-6kx+k+8≥0的解集是R，
∴k=0或

k＞0 △=36 k 2-4k(k+8)≤0

，
即k=0或

k＞0 k2-k≤0

，
解得0≤k≤1．
故實數k的取值范圍是{k|0≤k≤1}．
（2）當k=0時，f（k）=

8

=2

2

；
當k≠0時，kx²-6kx+k+8的對稱軸x=3，
當x=3時，f（k）=

9k-18k+k+8

=

8-8k

，
∵0＜k≤1，
∴0≤f（k）＜2

2

．
綜上所述，f（k）=

2 2 ，k=0 8-8k ，0＜k≤1

，
函數f（k）的值域為[0，2

2

]．

點評：本題考查二次函數的性質和應用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件合理地進行等價轉化．