已知兩點
，直線AM、BM相交于點M，且這兩條直線的斜率之積為
.
（Ⅰ）求點M的軌跡方程；
（Ⅱ）記點M的軌跡為曲線C，曲線C上在第一象限的點P的橫坐標為1，直線PE、PF與圓
（
）相切于點E、F，又PE、PF與曲線C的另一交點分別為Q、R.
求△OQR的面積的最大值（其中點O為坐標原點）.
（Ⅰ）
（
）；（Ⅱ）
.
解析試題分析：（Ⅰ）設點
的坐標為
則, 
,化簡可得軌跡方程.
（Ⅱ）設出直線PE、PF的點斜式方程,分別求出它們與圓（）相切條件下與曲線C的另一交個交點Q、R.的坐標,寫出直線
的方程,點到直線的距離公式可求
的底邊上的高.進而得出面積的表達式,再探索用基本不等式求該式最值的方法.
試題解析：（Ⅰ）設點
，
2分
整理得點M所在的曲線C的方程：（） 3分
（Ⅱ）由題意可得點P（
） 4分
因為圓的圓心為（1，0），
所以直線PE與直線PF的斜率互為相反數 5分
設直線PE的方程為
，
與橢圓方程聯立消去
，得：
， 6分
由于
1是方程的一個解，
所以方程的另一解為
7分
同理
8分
故直線RQ的斜率為
=
9分
把直線RQ的方程
代入橢圓方程，消去整理得
所以
10分
原點O到直線RQ的距離為
11分
12分
考點：1、動點軌跡方程的求法；2、直線與圓、圓錐曲線的位置關系；3、基本不等式的應用.
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在平面直角坐標系
中，已知點
，
是動點，且
的三邊所在直線的斜率滿足
．
（1）求點的軌跡
的方程；
（2）若
是軌跡上異于點的一個點，且
，直線
與
交于點
，問：是否存在點，使得
和
的面積滿足
？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在平面直角坐標系中,已知點
和
,圓
是以為圓心,半徑為
的圓,點
是圓上任意一點，線段
的垂直平分線
和半徑
所在的直線交于點
.
（Ⅰ）當點在圓上運動時，求點的軌跡方程
；
（Ⅱ）已知
，
是曲線上的兩點，若曲線上存在點，滿足
（
為坐標原點），求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C：
的一個焦點是（1，0），兩個焦點與短軸的一個端點構成等邊三角形．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點Q（4，0）且不與坐標軸垂直的直線l交橢圓C于A、B兩點，設點A關于x軸的
對稱點為A1．求證：直線A1B過x軸上一定點，并求出此定點坐標．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
：
的離心率為
且與雙曲線
：
有共同焦點.
（1）求橢圓的方程；
（2）在橢圓落在第一象限的圖像上任取一點作的切線
，求與坐標軸圍成的三角形的面積的最小值；
（3）設橢圓的左、右頂點分別為
，過橢圓上的一點
作
軸的垂線交軸于點
，若
點滿足
，
，連結
交
于點
，求證：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的左、右焦點分別為
、
，
為原點.
（1）如圖1，點
為橢圓
上的一點，
是
的中點，且
，求點到
軸的距離；
（2）如圖2，直線
與橢圓相交于
、
兩點，若在橢圓上存在點
，使四邊形
為平行四邊形，求
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的中心在原點，焦點在
軸上，長軸長為
，且點
在橢圓上．
（1）求橢圓的方程；
（2）設
是橢圓長軸上的一個動點，過作方向向量
的直線
交橢圓于
、
兩點，求證：
為定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設橢圓E:
=1（
）過點M（2，
）, N（
，1），
為坐標原點
（I）求橢圓E的方程；
（II）是否存在以原點為圓心的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且
？若存在，寫出該圓的方程；若不存在，說明理由。
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,橢圓
以
的長軸為短軸,且與
,求直線
的方程.