Question

已知A、B、C三點均在橢圓M：（a＞1）上，直線AB、AC分別過橢圓的左右焦點F₁、F₂，當，有9．
（I）求橢圓M的方程；
（II）設P是橢圓M上任意一點，求的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意可得AF₂⊥F₁F₂． 設|AF₂|=m，則|AF₁|=2a-m，再由勾股定理可得am=1．利用兩個向量的夾角公式求出cos，再利用兩個向量的數量積的定義，結合
9 可得 m=，故有 a²=2，由此求得橢圓M的方程．
（II）由上可得 F₁（-1，0），F₂（1，0），設P（x，y），化簡=x²+y²-1，再由 可得 =1-y²．由于-1≤y≤1，0≤y²≤1，
從而得到=1-y²的最大值和最小值．
解答：解：（I）∵，∴，即 AF₂⊥F₁F₂．  設|AF₂|=m，則|AF₁|=2a-m．
再由勾股定理可得 （2a-m）²=m²+（2c）² 且 c²=a²-1，故 am=1．
又 cos==，∴|AF₂|=•|AF₁|．
再由 9  可得，9•|AF₁|•（•|AF₁|）•=，即 =1，
解得 m=，故有 a²=2，故橢圓M的方程為 ．

（II）由上可得 F₁（-1，0），F₂（1，0），設P（x，y），=（-1-x，-y）•（1-x，-y）=x²+y²-1．
再由P是橢圓M上任意一點， 可得 =1-y²．
由題意可得-1≤y≤1，0≤y²≤1，故=1-y²的最大值為1，最小值等于0．
點評：本題主要考查橢圓的定義、標準方程，以及簡單性質的應用，兩個向量的數量積的定義，兩個向量的數量積公式的應用，體現了數形結合的數學思想，屬于中檔題．