Question

已知f（x）=（x∈（0，+∞）），存在實數a，b，使f（x）滿足：（i）f（x）在（0，2]上是減函數，在[2，+∞）是增函數；
（ii）f（x）的最小值是5．
（1）求a，b的值及f（x）的解析式；
（2）（理科）求y=f（x）的圖象與三直線x=1，x=e及y=0所圍成的圖形面積；
（3）若函數F（x）=f（x）-c•cosx，當時是單調減函數，求實數c的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由f（x）==x++a得，，
∵f（x）在（0，2]上是減函數，在[2，+∞）是增函數，
∴函數f（x）在x=2出取得極小值，也是函數的最小值，
則f′（2）=0，∴=0，解得b=4，
又∵f（2）=5，∴=5，解得a=1，
∴；
（2）由題意得，
=；
（3）由題意知，F（x）=f（x）-c•cosx在上是減函數，
∴對于恒成立，
則，
當x=時有，
∴．
分析：（1）將解析式化簡后求出，由條件得f′（2）=0和f（2）=5，求出a和b，再求出函數的解析式；
（2）由（1）和定積分求出所圍成的圖形面積即可；
（3）將條件轉化為：在恒成立，再分離出常數c，求出對應函數的最小值，即求出c的范圍．
點評：本題考查了導數與函數的單調性、極值和最值的關系，以及定積分求圖形的面積，函數恒成立問題的轉化，和分離常數法，考查了的范圍較廣，屬于中檔題．