Question

設x，y為正實數，，，c=x+y．
（Ⅰ）如果p=1，則是否存在以a，b，c為三邊長的三角形？請說明理由；
（Ⅱ）對任意的正實數x，y，試探索當存在以a，b，c為三邊長的三角形時的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）通過p=1利用三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，判斷三角形的存在情況．
（Ⅱ）存在以a，b，c為三邊長的三角形時，通過，利用換元法，構造法，利用基本不等式求出p的范圍．
解答：解：（Ⅰ）存在．
當p=1時，，
顯然成立，
且＜xy，易知a＜c，由上得，
故當p=1時，存在以a，b，c為三邊長的三角形．
（Ⅱ）∵a＜c，∴若存在以a，b，c為三邊長的三角形時，只需，
即
不等式①②兩邊都除以，令=t，得，這里f（t）=，
g（t）=，
由于f（t）=≥2+=2+，
當且僅當t=1時，f（t）取最小值2+，令m=，
則m≥2，g（t）==m-，
易知函數φ（m）=m-在[2，+∞）上單調遞減，
故φ（m）_max=2-，即g（t）≤2-，當且僅當t=1時，g（t）取最大值2-；
因此p的取值范圍為2-＜p＜2+．
即p的取值范圍為2-＜p＜2+時，存在以a、b、c為三邊長的三角形．
點評：本題考查三角形的形狀的判斷，基本不等式的應用，換元法的應用，函數的最值，考查分析問題解決問題，轉化思想的應用．