Question

已知函數f(x)=

a

x

+lnx-1，a∈R．
（1）若曲線y=f（x）在P（1，y₀）處的切線平行于直線y=-x+1，求函數y=f（x）的單調區間；
（2）若a＞0，且對x∈（0，2e]時，f（x）＞0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據曲線y=f（x）在P（1，y₀）處的切線平行于直線y=-x+1，求出函數的字母系數，對函數求導，使得導函數大于0，在定義域中求出函數的單調區間．
（2）現出函數的最大值，對函數求導求出函數的單調區間，看出函數的最大值，根據在自變量的定義域內函數大于0恒成立，根據函數的思想求出a的值．

解答：解：(1)直線y=-x+1斜率kAB=1，函數y=f(x)的導數f′(x)=-

a

x2

+

1

x

f′(1)=-a+1=-1，即a=2 ∴f(x)= 2 x +lnx-1，f′(x)=- 2 x2 + 1 x = x-2 x2 ∵f(x)的定義域為(0，+∞)，f′(x)=- 2 x2 + 1 x = x-2 x2 由f′(x)＞0得x＞2，由f′(x)＜0得0＜x＜2． ∴函數f(x)的單調增區間(2，+∞)，單調減區間是(0，2)

（2）∵a＞0，f（x）＞0，對x∈（0，2e]恒成立，
即

a

x

+lnx-1＞0對x∈(0，2e]恒成立
設a＞x（1-lnx）=x-xlnx，x∈（0，2e]，
g^′（x）=1-lnx-1=-lnx
當0＜x＜1時，g^′（x）＞0，g（x）為增函數，
當1＜x＜2e，g^′（x）＜0，g（x）為減函數，
∴當x=1時，函數在（0，2e]上取得最大值，
∴g（x）≤g（1）=1
∴a的取值范圍是（1，+∞）

點評：本題考查函數的綜合題目，解題的關鍵是根據函數的導函數的正負確定函數的單調區間，本題還要注意恒成立問題．