Question

設函數f(x)＝－x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m>0.
(1)當m＝1時，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線的斜率；
(2)求函數f(x)的單調區間．

Answer 1

解：(1)當m＝1時，f(x)＝－x3＋x2，f′(x)＝－x2＋2x，故f′(1)＝1.
所以曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線的斜率為1.
(2)f′(x)＝－x2＋2x＋m2－1
令f′(x)＝0，解得x＝1－m，或x＝1＋m.
因為m>0，所以1＋m>1－m.
當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

x	(－∞，1－m)	1－m	(1－m，1＋m)	1＋m	(1＋m，＋∞)
f′(x)	－	0	＋	0	－
f(x)	?	極小值		極大值

所以f(x)在(－∞，1－m)，(1＋m，＋∞)內是減函數，在(1－m,1＋m)內是增函數．

略