Question

已知數列單調遞增，且各項非負，對于正整數，若任意的，（≤≤≤），仍是中的項，則稱數列為“項可減數列”．
（1）已知數列是首項為2，公比為2的等比數列，且數列是“項可減數
列”，試確定的最大值；
（2）求證：若數列是“項可減數列”，則其前項的和；
（3）已知是各項非負的遞增數列，寫出（2）的逆命題，判斷該逆命題的真假，
并說明理由．

Answer 1

（1）2 （2）．    （3）（2）的逆命題為：已知數列為各項非負的遞增數列，若其前項的和滿足，則該數列一定是“項可減數列”，該逆命題為真命題．

(1)根據題意可知，
易得，即數列一定是“2項可減數列”.
（2）因為數列是“項可減數列”，
所以必定是數列中的項.
而是遞增數列，故，
所以必有，，
是解決本小題的關鍵.
(3) 的逆命題為：
已知數列為各項非負的遞增數列，若其前項的和滿足，
則該數列一定是“項可減數列”，該逆命題為真命題．
證明要注意利用≤≤,求出的通項公式.
（1）設，則，
易得，即數列一定是“2項可減數列”，
但因為，所以的最大值為2． ………………5分
（2）因為數列是“項可減數列”，
所以必定是數列中的項， ………………………7分
而是遞增數列，故，
所以必有，，
則
，
所以，即．
又由定義知，數列也是“項可減數列”，
所以．      ……………………………10分
（3）（2）的逆命題為：
已知數列為各項非負的遞增數列，若其前項的和滿足，
則該數列一定是“項可減數列”，該逆命題為真命題．……………………12分
理由如下：因為≤≤，所以當≥時，，
兩式相減，得，即 （）
則當時，有（）
由（）－（），得，
又，所以，故數列是首項為0的遞增等差數列．
設公差為，則，
對于任意的≤≤≤，，
因為≤，所以仍是中的項，
故數列是“項可減數列”．