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設
e1
，
e2
是兩個互相垂直的單位向量，已知向量
AB
=3
e1
+2
e2
，
CB
=
e1
-λ
e2
，
CD
=-2
e1
+
e2
，
（1）若A、B、D三點共線，試求實數λ的值．
（2）若A、B、D三點構成一個直角三角形，試求實數λ的值．
分析：（1）由向量的減法運算求出
BD
，再由共線向量基本定理列式后轉化為方程組求解；
（2）在（1）求出了
AB
和
BD
，再由向量加法求出
AD
，然后分三種情況進行討論，運用垂直時的數量積為0求解λ的值．
解答：解：（1）
BD
=
CD
-
CB
=(-2
e1
+
e2
)-(
e1
-λ
e2
)=-3
e1
+(1+λ)
e2
，
∵A、B、D三點共線，∴存在實數μ使
AB
=μ
BD
，
即3
e1
+2
e2
=μ[-3
e1
+(1+λ)
e2
]⇒
3=-3μ
2=μ(1+λ)
⇒λ=-3．
（2）
AD
=
AB
+
BC
+
CD
=（3
e1
+2
e2
）+（-
e1
+λ
e2
）+（-2
e1
+
e2
）
=(λ+3)
e2
．
若∠A=90°，則
AB
•
AD
=2(λ+3)
e2
2=0⇒λ=-3，
此時A、D兩點重合，應舍去；
若∠B=90°，則
AB
•
BD
=-9
e1
2+2(λ+1)
e2
2=0⇒λ=
7
2
；
若∠D=90°，則
BD
•
AD
=(λ+1)(λ+3)
e2
2=0⇒λ=-3（舍），λ=-1．
綜上所述實數λ的值為λ=-3或λ=-1或λ=
7
2
．
點評：本題考查向量的數量積判斷兩個向量的垂直關系，考查了平面向量共線的坐標表示，考查了分類討論思想，考查計算能力，是中低檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設
e1
，
e2
是兩個互相垂直的單位向量，
a
=-(2
e1
+
e2
)，
b
=
e1
-λ
e2
，若
a
⊥
b
，則λ的值為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設
e1
，
e2
是兩個互相垂直的單位向量，且
a
=6
e1
+2
e2
，
b
=-3
e1
+k
e2
，當k為何值時，
（1）
a
∥
b
；（2）
a
⊥
b
．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年江西省高三高考考前熱身考試文科數學試卷（解析版） 題型：選擇題

設e1，e2是兩個互相垂直的單位向量，且，則在上的投影為( )

A．            B．             C．               D．

 

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

設
e1
，
e2
是兩個互相垂直的單位向量，
a
=-(2
e1
+
e2
)，
b
=
e1
-λ
e2
，若
a
⊥
b
，則λ的值為 ______．

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