Question

已知定義域為的函數同時滿足以下三個條件：
①對任意的，總有；
②；
③當，且時，成立．
稱這樣的函數為“友誼函數”．
請解答下列各題：
(1)已知為“友誼函數”，求的值；
(2)函數在區間上是否為“友誼函數”？請給出理由；
(3)已知為“友誼函數”，假定存在，使得，且，求證：.

Answer 1

（1）；（2）在上為友誼函數；（3）證明過程見解析.

試題分析：（1）賦值可考慮取，代入，可得，由已知，可得.
（2）要判斷函數在區間上是否為“友誼函數，只要檢驗函數在上是否滿足（1）；（2）；（3），且時，有即可．
（3）由，則，故有，即得結論成立；
(1)令，則．由③，得，即．又由①，得，所以.
(2) 是友誼函數．任取，，有．則．即．又，故在上為友誼函數．
(3)取，則．因此，．假設，若，則．若，則．都與題設矛盾，因此.