Question

（2004•江蘇）設無窮等差數列{a_n}的前n項和為S_n．
（Ⅰ）若首項a₁=

3

2

，公差d=1．求滿足Sk2=(Sk)2的正整數k；
（Ⅱ）求所有的無窮等差數列{a_n}，使得對于一切正整數k都有Sk2=(Sk)2成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）Sn=na1+

n(n-1)

2

d=

3

2

n+

n(n-1)

2

=

1

2

n2+n，由Sk2=(Sk)2得

1

4

k4- k3=0，又k是正整數，所以k=4．
（Ⅱ）設數列

a

2

的公差為d，則在Sk2=(Sk)2中分別取k=1，2得

a1=a12，① 4a1+6d=(2a1+d)2，②

，由此能求出只有3個滿足條件的無窮等差數列．

解答：解：（Ⅰ）∵首項a₁=

3

2

，公差d=1．
∴Sn=na1+

n(n-1)

2

d=

3

2

n+

n(n-1)

2

=

1

2

n2+n，
由Sk2=(Sk)2得

1

2

(k2)2+k2=(

1

2

k2+k )2，
即

1

4

k4- k3=0，
∵k是正整數，∴k=4．…（5分）
（Ⅱ）設數列

a

2

的公差為d，
則在Sk2=(Sk)2中分別取k=1，和k=2得

S1=(S1)2 S4=(S2)2

，
即

a1=a12，① 4a1+6d=(2a1+d)2，②

由①得a₁=0或a₁=1，
當a₁=0時，代入②得d=0或d=6．若a₁=0，d=0則本題成立；
若a₁=0，d=6，則a_n=6（n-1），
由S₃=18，（S₃）²=324，S₉=216知S₉≠（S₃）²，故所得數列不符合題意；
當a₁=1時，代入②得4+6d=（2+d）²，
解得d=0或d=2．
若a=1，d=0則a_n=1，S_n=n從而Sk2=(Sk)2成立；
若a₁=1，d=2，則a_n=2n-1，S_n=n²，
從而Sk2=(Sk)2成立．
綜上所述，只有3個滿足條件的無窮等差數列：
①a_n=0； ②a_n=1；③a_n=2n-1．

點評：本題考查等差數列的性質和應用，具體涉及到等差數列的前n項和公式和通項公式的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化