Question

已知函數的圖像過坐標原點，且在點處的切線的斜率是．
（1）求實數的值；
（2）求在區間上的最大值；
（3）對任意給定的正實數，曲線上是否存在兩點，使得是以為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊的中點在軸上？請說明理由．

Answer 1

（1）；（2）在上的最大值為；（3）對任意給定的正實數，曲線上總存在兩點，使得是以為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊的中點在y軸上．

試題分析：（1）求實數的值，由函數，由圖像過坐標原點，得，且根據函數在點處的切線的斜率是，由導數幾何意義可得，建立方程組，可確定實數的值，進而可確定函數的解析式；（2）求在區間的最大值，因為，由于是分段函數，可分段求最大值，最后確定最大值，當時，，求導得，，令，可得在上的最大值為，當時，．對討論，確定函數的單調性，即可求得結論；（3）這是探索性命題，可假設曲線上存在兩點滿足題設要求，則點只能在軸兩側．設的坐標，由此入手能得到對任意給定的正實數，曲線上存在兩點使得是以為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上．
試題解析：（1）當時，則 （1分）
依題意，得即，解得．     （3分）
（2）由（1）知，
①當時令得或     （4分）
當變化時的變化情況如下表：

		0			（）
	—	0	+	0	—
	單調遞減	極小值	單調遞增	極大值	單調遞減

又
所以在上的最大值為．                  （6分）
②當時，
當時， ，所以的最大值為0 ；
當時，在上單調遞增，所以在上的最大值為．（7分）
綜上所述，
當，即時，在上的最大值為2；
當，即時，在上的最大值為 ．     （9分） 
（3）假設曲線上存在兩點滿足題設要求，則點只能在y軸的兩側．
不妨設，則，顯然
因為是以為直角頂點的直角三角形，
所以，即    ①
若方程①有解，則存在滿足題意的兩點；若方程①無解，則不存在滿足題意的兩點
若，則，代入①式得，
即，而此方程無實數解，因此．                        （11分） 
此時，代入①式得,即   ②
令，則，所以在上單調遞增，因為，所以，當時，，所以的取值范圍為。所以對于，方程②總有解，即方程①總有解．
因此對任意給定的正實數，曲線上總存在兩點，使得是以為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊的中點在y軸上．                （14分）