Question

已知函數，， 
（1）若，求曲線在處的切線方程；
（2）若對任意的，都有恒成立，求的最小值；
（3）設，，若，為曲線的兩個不同點，滿足，且，使得曲線在處的切線與直線AB平行，求證：

Answer 1

（1）；（2）1；（3）證明過程詳見解析

試題分析：
第一問，當時，先求出的解析式，對求導，將代入到中得到切線的斜率，將代入到中得到切點的縱坐標，最后用點斜式寫出切線方程；第二問，本問是恒成立問題，先轉化成恒成立，即構造函數求函數的最小值大于等于0即可，對求導對參數a進行討論，分和，求導，利用導數求函數的最值，判斷是否符合題意；第三問，先利用已知條件求出解析式，求出直線AB的斜率，通過對求導，求出曲線在處的切線的斜率，由于兩直線平行，所以兩斜率相等，由于，所以在定義域內單調遞減，用分析法得欲證，需證明，通過變形得，即，構造新函數，通過求導判斷函數的單調性和最值，只需證明最小值大于0即可 
試題解析：（1）,斜率,
所以，曲線在處的切線方程為               2分
(2)恒成立恒成立 
令，，，，
（ⅰ）若，則恒成立，∴函數在為單調遞增函數，
恒成立，又∵，∴符合條件 
（ⅱ）若，由，可得，解得和（舍去） 
當時，；當時，；
∴ 
恒成立矛盾
綜上，a的最小值為1                       7分
（Ⅲ），
又∵，∴，∴
由，，易知其在定義域內為單調遞減函數
欲證證明
即，變形可得：
令，，原不等式等價于，等價于
構造函數，
則，，令，，
當時，，
∴在上為單調遞增函數， 
∴在上為單調遞增函數，
∴，
∴在上恒成立 
∴成立，∴得證