Question

定義在R上的函數同時滿足以下條件：
①在(0,1)上是減函數，在(1，＋∞)上是增函數；
②是偶函數；
③在x＝0處的切線與直線y＝x＋2垂直．
(1)求函數的解析式；
(2)設g(x)＝，若存在實數x∈[1，e]，使g(x)<，求實數m的取值范圍。

Answer 1

(1) f(x)＝x³ x＋3， (2) m>2e e³

試題分析：(1)三個條件，三個未知數，本題就是通過條件列方程組解參數，第一個條件說的是單調性，實質是導數，即，3a＋2b＋c＝0；第二個條件是函數的奇偶性，利用恒成立即可，b＝0；第三個條件是導數幾何意義，即， c＝ 1 ；因此；(2)存在型問題，轉化為函數最值，首先進行變量分離，即m>xlnx x3＋x，然后求函數M(x)＝xlnx x3＋x在[1，e]上最小值，這又要利用導數研究函數M(x)在[1，e]上的單調性，分析得為M(x)在[1，e]上遞減，所以M(x)最小值為M(e)＝2e e3于是有m>2e e3
試題解析：解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∵f(x)在(0,1)上是減函數，在(1，＋∞)上是增函數，
∴f′(1)＝3a＋2b＋c＝0                                      ①
由f′(x)是偶函數得：b＝0                                    ②
又f(x)在x＝0處的切線與直線y＝x＋2垂直，f′(0)＝c＝ 1       ③
由①②③得：a＝，b＝0，c＝ 1，即.     4分
(2)由已知得：存在實數x∈[1，e]，使lnx <x2 1
即存在x∈[1，e]，使m>xlnx x3＋x                    6分
設M(x)＝xlnx x3＋x，x∈[1，e]，則M′(x)＝lnx 3x2＋2        8分
設H(x)＝lnx 3x2＋2，則H′(x)＝ 6x＝                 10分
∴M(x)在[1，e]上遞減，
∵x∈[1，e]，∴H′(x)<0，即H(x)在[1，e]上遞減
于是，H(x)≤H(1)，即H(x)≤ 1<0，即M′(x)<0
∴M(x)≥M(e)＝2e e3
于是有m>2e e3為所求．                     12分