Question

已知一個數列的各項都是1或2．首項為1，且在第個1和第個1之間有個2，即1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…．記數列的前項的和為．
參考：31×32=992，32×33＝1056，44×45=1980，45×46=2070，2011×2012＝4046132
（１）試問第2012個1為該數列的第幾項？
（２）求和；
（３）（特保班做）是否存在正整數，使得？如果存在,求出的值；如果不存在,請說明理由．

Answer 1

（１）4046133（２），（３）存在，=993+29=1022

本小題關鍵是讀懂題意歸納出規律：將第k個1與第k+1個1前的2記為第k對，即　(1,2)為第1對，共1+1=2項；(1,2,2,2)為第2對，共1+3=4項；….
從而可歸納出為第k對，共項, 故前k對共有項數為.
（1）（2）在此基礎上容易解決.
（3）解本小題的關鍵是確定前k對所在全部項的和為,問題到此基本得以解決.
解：將第個1與第個1前的2記為第對，
即　為第1對，共項；
為第2對，共項；……；
為第k對，共項；
故前k對共有項數為．
（１）第2012個1所在的項之前共有2011對，所以2012個1為該數列的
2011×(2011+1)+1=4046133（項）
（２）因44×45=1980，45×46=2070，，
故第2012項在第45對中的第32個數，從而
　　　又前2012項中共有45個1，其余2012－45＝1967個數均為2，
于是
（３）前k對所在全部項的和為，易得，
，，
即且自第994項到第1056項均為2，而2012-1954=58能被2整除，
故存在=993+29=1022，使．