Question

已知為常數，且，函數， 
（是自然對數的底數）．
（1）求實數的值；
（2）求函數的單調區間；
（3）當時，是否同時存在實數和（），使得對每一個，直線與曲線都有公共點？若存在，求出最小的實數和最大的實數；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）；（2）當時，的單調增區間為，單調減區間為,當時，的單調增區間為，單調減區間為；(3) 當時，存在實數和，使得對每一個，直線與曲線都有公共點，可得.

試題分析：(1) 由可解得的值；（2）對函數求導可得，對進行討論，解，分別可得單調遞增與遞減區間；（3）當時，，求出導數判斷在的變化情況，得在區間內值域為，假設存在題目中要求的點，那么每一個，直線與曲線都沒有公共點．
解： (1)由，得；             2分
（2）由（Ⅰ），．定義域為．      .3分
從而，                      ..4分
因為，所以
當時，由得，由得；5分
當時，由得，由得；6分
因而，　當時，的單調增區間為，單調減區間為， ..7分
當時，的單調增區間為，單調減區間為．     .8分
(3)當時，．．令，則．
當在區間內變化時，，的變化情況如下表：

		單調遞減	極小值	單調遞增

   10分
因為，所以在區間內值域為．  .11分
由此可得，
若，則對每一個，直線與曲線都有公共點，  .12分
并且對每一個，直線與曲線都沒有公共點．  .13分
綜合以上，當時，存在實數和，使得對每一個，直線與曲線都有公共點．  .14分