Question

若函數f（x）同時滿足：①對于定義域上的任意x，恒有f（x）+f（-x）=0；  ②對于定義域上的任意x₁，x₂，當x₁≠x₂時，恒有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，則稱函數f（x）為“理想函數”．給出下列四個函數中：
（1）f（x）=

1

x

   
（2）f（x）=x²  
（3）f（x）=

2x-1

2x+1

 
（4）f（x）=

-x2   x≥0 x2    x＜0

，
能被稱為“理想函數”的有

（4）

（填相應的序號）．

Answer 1

分析：先理解已知兩條性質反映的函數性質，①f（x）為奇函數，②f（x）為定義域上的單調減函數，由此意義判斷題干所給四個函數是否同時具備兩個性質即可

解答：解：依題意，性質①反映函數f（x）為定義域上的奇函數，性質②反映函數f（x）為定義域上的單調減函數，
（1）f（x）=

1

x

為定義域上的奇函數，但不是定義域上的單調減函數，其單調區間為（-∞，0），（0，+∞），故排除（1）；
（2）f（x）=x² 為定義域上的偶函數，排除（2）；
（3）f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，定義域為R，由于y=2^x+1在R上為增函數，故函數f（x）為R上的增函數，排除（3）；
（4）f（x）=

-x2   x≥0 x2    x＜0

的圖象如圖：顯然此函數為奇函數，且在定義域上為減函數，故（4）為理想函數
故答案為 （4）

點評：本題主要考查了抽象表達式反映的函數性質，對新定義函數的理解能力，奇函數的定義，函數單調性的定義，基本初等函數的單調性和奇偶性及其判斷方法，復合函數及分段函數的單調性和奇偶性的判斷方法