Question

（本小題滿分12分）
已知不等式為大于2的整數，表示不超過的最大整數. 設數列的各項為正，且滿足
（Ⅰ）證明
（Ⅱ）猜測數列是否有極限？如果有，寫出極限的值（不必證明）；
（Ⅲ）試確定一個正整數N，使得當時，對任意b>0，都有．

Answer 1

略

（Ⅰ）證法1：∵當
即 于是有 
所有不等式兩邊相加可得 
由已知不等式知，當n≥3時有，
∵
證法2：設，首先利用數學歸納法證不等式
（i）當n=3時， 由   知不等式成立.
（ii）假設當n=k（k≥3）時，不等式成立，即
則

即當n=k+1時，不等式也成立.由（i）、（ii）知，
又由已知不等式得 
（Ⅱ）有極限，且
（Ⅲ）∵則有
故取N=1024，可使當n>N時，都有