Question

(本小題滿分16分)
已知數列和，對一切正整數n都有：
成立．
（Ⅰ）如果數列為常數列，，求數列的通項公式；
（Ⅱ）如果數列的通項公式為，求證數列是等比數列．
（Ⅲ）如果數列是等比數列，數列是否是等差數列？如果是，求出這個數列的通項公式；如果不是，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）．
（Ⅱ）數列是4為首項，公比為3的等比數列． 
（Ⅲ）  …
若時，，數列為等差數列．
若時，∵a₂－a₁≠a₃－a₂ ,
∴，不是等差數列．
故時，數列為等差數列；時數列不為等差數列……16分

（本小題滿分16分）
（Ⅰ），由已知得：，
將用迭代得：．（）
兩式相減得：，當時，適合
∴數列的通項公式為．      ………………4分
（Ⅱ），由已知得：，
將用迭代得：．（n≥2）
兩式相減得：，  ………………………7分     
將用迭代得：．
兩式相減得：，經檢驗也適合．
所以數列的通項公式為．
故數列是4為首項，公比為3的等比數列．   ………………10分
（Ⅲ）設數列的首項為，公比為，由已知得：

即：
即：
所以：    ………………………13分
若時，，數列為等差數列．
若時，∵a₂－a₁≠a₃－a₂ ,
∴，不是等差數列．
故時，數列為等差數列；時數列不為等差數列……16分