Question

函數f（x）＝|e^x－bx|，其中e為自然對數的底，
（1）當b＝1時，求曲線y＝f（x）在x＝1處的切線方程；
（2）若函數y＝f（x）有且只有一個零點，求實數b的取值范圍；
（3）當b＞0時，判斷函數y＝f（x）在區間（0，2）上是否存在極大值，若存在，求出極大值及相應實數b的取值范圍。

Answer 1

解：（1）記g（x）＝e^x-bx，
當b＝1時，g′（x）＝e^x-1，
當x＞0時，g′（x）＞0，所以g（x）在（0，＋∞）上為增函數；
又g（0）＝1＞0，
所以當x∈（0，＋∞）時，g（x）＞0，
所以當x∈（0，＋∞）時，f（x）＝∣g（x）∣＝g（x），
所以f′（1）＝g′（1）＝e-1，
所以曲線y＝f（x）在點（1，e-1）處的切線方程為：y-（e-1）＝（e-1）（x-1），
即y＝（e-1）x。  
（2）f（x）＝0同解于g（x）＝0，
因此，只需g（x）＝0有且只有一個解，即方程e^x-bx＝0有且只有一個解，
因為x＝0不滿足方程，所以方程同解于b＝，  
令h（x）＝，
由h′（x）＝＝0得x＝1，
當x∈（1，＋∞）時，h′（x）＞0，h（x）單調遞增，h（x）∈（e，＋∞）；
當x∈（0，1）時，h′（x）＜0，h（x）單調遞減，h（x）∈（e，＋∞）；
所以當x∈（0，＋∞）時，方程b＝有且只有一解等價于b＝e；
當x∈（-∞，0）時，h（x）單調遞減，且h（x）∈（-∞，0），
從而方程b＝有且只有一解等價于b∈（-∞，0）；
綜上所述，b的取值范圍為（-∞，0）∪{e}。
（3）由g′（x）=e^x-b=0，得x=lnb，
當x∈（-∞，lnb）時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減；
當x∈（lnb，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增；
所以在x=lnb時，g（x）取極小值g（lnb）=b-blnb=b（1-lnb），
①當0＜b≤e時，g（lnb）=b-blnb=b（1-lnb）≥0，
從而當x∈R時，g（x）≥0，
所以f（x）=∣g（x）∣=g（x）在（-∞，+∞）上無極大值；
因此，在x∈（0，2）上也無極大值；
②當b＞e時，g（lnb）＜0，
因為g（0）=1＞0，g（2lnb）=b²-2blnb=b（b-2lnb）＞0，
所以存在x₁∈（0，lnb），x₂∈（lnb，2lnb），使得g（x₁）=g（x₂）=0，
此時f（x）=∣g（x）∣=，
所以f（x）在（-∞，x₁）單調遞減，在（x₁，lnb）上單調遞增，在（lnb，x₂）單調遞減，
在（x₂，+∞）上單調遞增，
所以在x=lnb時，f（x）有極大值，
因為x∈（0，2），
所以，當lnb＜2，即e＜b＜e²時，f（x）在（0，2）上有極大值；
當lnb≥2，即b≥e²時，f（x）在（0，2）上不存在極大值；
綜上所述，在區間（0，2）上，當0＜b≤e或b≥e²時，函數y=f（x）不存在極大值；
當e＜b＜e²時，函數y=f（x）在x=lnb時取極大值f（lnb）=b（lnb-1）。