Question

已知f(x)=

px2+2

3x+q

是奇函數，且f(2)=

5

3

，
（1）求實數p和q的值．
（2）求f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）由及函數的定義f（-x）=-f（x）恒成立，可得p和q的一個關系式，由f(2)=

5

3

再得p和q的一個關系式，聯立解方程組即可求出實數p和q的值；
（2）可直接利用導數進行判斷．先求導，令f′（x）＞0即得f（x）的增區間，令f′（x）＜0即得f（x）的減區間．

解答：解；（1）f(x)=

px2+2

3x+q

是奇函數，則f（-x）=-f（x）恒成立，
即f(-x)=

px2+2

-3x+q

=-

px2+2

3x+q

=

px2+2

-3x-q

，所以q=0，又f(2)=

5

3

，可得p=2，
所以p=2，q=0
（2）由（1）知f(x)=

2x2+2

3x

= 

2

3

x+

2

3x

，f′(x)=

2

3

-

2

3x2

令f′（x）＞0得x＜-1或x＞1，令f′（x）＜0得-1＜x＜1，因為x≠0，
所以f（x）的增區間為（-∞，-1），（1，+∞）
減區間為（-1，0），（0，1）

點評：本題考查函數的單調性的判斷和就行的應用，屬基本題型的考查．