Question

（本小題滿分16分）
已知函數的圖象過點，且在點處的切線與直線垂直．
(1) 求實數的值；                                                (6分)
(2) 求在（為自然對數的底數）上的最大值；              (5分)
(3) 對任意給定的正實數，曲線上是否存在兩點，使得是以為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上？                  (5分)

Answer 1

（1）當時，，                      ………2分
由題意得：，即，                         ………4分
解得：。                                                    ………6分
（2）由（1）知：
①當時，，
解得；解得或
∴在和上單減，在上單增，
由得：或，                          ………7分
∵　，
∴在上的最大值為。                                     
②當時，，
當時，；當時，在單調遞增；
∴在上的最大值為。                                      --……9分
∴當時，在上的最大值為；
當時，在上的最大值為。                         …………11分
（3）假設曲線上存在兩點滿足題意，則只能在軸兩側，不妨設，則，且。
∵是以為直角頂點的直角三角形
∴，即（*）                          ……13分
是否存在等價于方程（*）是否有解。
①若，則，代入方程（*）得：，
即：，而此方程無實數解，從而，                    
∴，代入方程（*）得：，
即：，                                                
設，則在恒成立，
∴在上單調遞增，從而，則的值域為。
∴當時，方程有解，即方程（*）有解。
∴對任意給定的正實數，曲線上總存在兩點，
使得是以為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸

略