Question

(1)已知,求證：;
(2)已知，>0(i=1,2,3,…,3ⁿ)，求證：
+++…+

Answer 1

(1)利用函數的單調性，alog₃a+blog₃b+clog₃c≥-1當a=b=c=時等號成立。
(2)證明：數學歸納法

解析試題分析：(1)證明： a+b+c=1，a、b、c∈(0，+∞)，
alog₃a+blog₃b+clog₃c= alog₃a+blog₃b+(1-a-b) log₃(1-a-b)="f(a)"
那么f ′ (a)= log₃a-log₃(1-a-b)，當a∈(0，)時f ′ (a)<0，當a∈(，1)時f ′ (a)>0，
f(a)在(0，]上遞減，在[，1) 上遞增；
f(a)≥f()="(1-b)" log₃+ blog₃b，記g(b)=" (1-b)" log₃+ blog₃b， 3分
得：g′(b)= log₃b-log₃，當b∈(0，)時g′(b) <0，當b∈(，1)時，g′(b) >0，
 g(b)在(0，)遞減，在(，1)上遞增； g(b)≥g()=-1。
alog₃a+blog₃b+clog₃c≥-1當a=b=c=時等號成立。5分
(2)證明：n=1時，++=1，>0(i=1,2,3)，由(1)知
++≥-1成立，即n=1時，結論成立。
設n=k時結論成立，即++…+=1，>0(i=1,2,3,…,3^k)時
+++…+≥-k.
那么，n=k+1時,若++…+++…+=1，>0(i=1,2,3,…,3^k+1)時，
令+…+=t，則++…+=1，由歸納假設：
++…+≥-k. 8分