Question

定義在［－1，1］上的奇函數滿足，且當，時，有．
（1）試問函數f(x)的圖象上是否存在兩個不同的點A，B，使直線AB恰好與y軸垂直，若存在，求出A，B兩點的坐標；若不存在，請說明理由并加以證明.
（2）若對所有，恒成立，
求實數m的取值范圍．

Answer 1

（1）根據函數單調性的定義，設變量作差變形定號下結論。
（2）實數m的取值范圍是或或．

解析試題分析：解：（1）假設函數的圖象上存在兩個滿足條件的點A，B，則它們的縱坐標相同
任取，且， 則

  4分
因為，
所以，
∴是［－1，1］上的增函數  6分
這與假設矛盾，所以假設不成立，
∴ 函數f(x)的圖象上是否存在兩個不同的點A，B，使直線AB恰好與y軸垂直  8分
（2）要使得對所有，恒成立，
只須，  11分
由(1)得是［－1，1］上的增函數 ∴
∴對任意的恒成立  3分
令，則只須，
解之得：或或   15分
∴實數m的取值范圍是或或．  16分
考點：函數的奇偶性和單調性
點評：解決的關鍵是利用單調性的定義證明，同事利用不等式恒成立來化簡為分離參數的思想來求解最值得到參數的范圍。