Question

如圖，已知A（-2，0），B（2，0），等腰梯形ABCD滿足|AB|=-2|CD|，E為AC上一點，且

AE

=λ

EC

．又以A、B為焦點的雙曲線過C、D、E三點．若λ∈[

2

3

，

3

4

]，則雙曲線離心率e的取值范圍為（　　）

• A．[

  7

  ，

  10

  ]
• B．(1，

  7

  ]
• C．[

  10

  ，+∞)
• D．[

  7

  ，+∞)

Answer 1

分析：如圖，在直角坐標系中，記雙曲線的半焦距為c（c=2），h是梯形的高，用定比分點坐標公式可求得E點坐標x₀和y₀的表達式．設雙曲線方程，將點C、E坐標和e分別代入雙曲線方程聯立后求得e和h的關系式，根據λ的范圍求得e的范圍．

解答：解：如圖，以AB的垂直平分線為γ軸，直線AB為x軸，建立直角坐標系xOγ，則CD⊥γ軸．
因為雙曲線經過點C、D，且以A、B為焦點，由雙曲線的對稱性知C、D關于γ軸對稱，
設c為雙曲線的半焦距（c=2），
依題意，記 A(-c，0)，C(

c

2

，h)，E(x0，y0)，
h是梯形的高，
由定比分點坐標公式得 x0=

-c+ c 2 λ

1+λ

=

(λ-2)c

2(λ+1)

，
γ0=

λh

1+λ

．
設雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，則離心率 e=

c

a

，
由點C、E在雙曲線上，將點C、E坐標和 e=

c

a

代入雙曲線的方程，得

e2

4

-

h2

b2

=1，①

e2

4

(

λ-2

λ+1

)2-(

λ

λ+1

)2

h2

b2

=1．②
由①式得

h2

b2

=

e2

4

-1，③
將③式代入②式，整理得

e2

4

(4-4λ)=1+2λ，
故 λ=1-

3

e2+2

由題設

2

3

≤λ≤

3

4

得，

2

3

≤1-

3

e2+2

≤

3

4

，
解得

7

≤e≤

10

，
所以，雙曲線的離心率的取值范圍為[

7

，

10

]．
故選A．

點評：本小題主要考查雙曲線的簡單性質、定比分點等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．