Question

如圖，已知A（-2，0），B（2，0），等腰梯形ABCD滿足|AB|=-2|CD|，E為AC上一點，且．又以A、B為焦點的雙曲線過C、D、E三點．若，則雙曲線離心率e的取值范圍為（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：如圖，在直角坐標系中，記雙曲線的半焦距為c（c=2），h是梯形的高，用定比分點坐標公式可求得E點坐標x和y的表達式．設雙曲線方程，將點C、E坐標和e分別代入雙曲線方程聯立后求得e和h的關系式，根據λ的范圍求得e的范圍．
解答：解：如圖，以AB的垂直平分線為γ軸，直線AB為x軸，建立直角坐標系xOγ，則CD⊥γ軸．
因為雙曲線經過點C、D，且以A、B為焦點，由雙曲線的對稱性知C、D關于γ軸對稱，
設c為雙曲線的半焦距（c=2），
依題意，記 ，
h是梯形的高，
由定比分點坐標公式得 ，
．
設雙曲線的方程為 ，則離心率 ，
由點C、E在雙曲線上，將點C、E坐標和 代入雙曲線的方程，得 ，①
．②
由①式得 ，③
將③式代入②式，整理得 ，
故
由題設 得，，
解得 ，
所以，雙曲線的離心率的取值范圍為[]．
故選A．
點評：本小題主要考查雙曲線的簡單性質、定比分點等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．