Question

過拋物線x²=2py（p＞0）的焦點F作直線l₁交拋物線于A、B兩點．O為坐標原點．
（1）過點A作拋物線的切線交y軸于點C，求線段AC中點M的軌跡方程；
（2）若l₁傾斜角為30°，則在拋物線準線l₂上是否存在點E，使得△ABE為正三角形，若存在，求出E點坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設出過點A的拋物線的切線方程，與拋物線方程聯立，利用△=0，求出k，再代回切線方程，求C點坐標，這樣就可找到AC中點的坐標，進而求出中點M的軌跡方程．
（2）假設存在符合題意的點E．由已知l₁：y-=x  聯立拋物線方程有：x²=2p（），故可求A，B的坐標．欲使△ABE為正△，則k_BE不存在．從而可知不存在符合條件的點E．
解答：解：（1）設A（x₁，y₁），過點A的切線方程為y=k（x-x₁）+y₁
由得x²-2pkx+2pkx₁-2py₁=0
令△=4p²k²-4（2pkx₁-2py₁）=0
解得
∴切線方程為
令x=0，得
∴線段AC中點M為（x，0）
∴點M的軌跡方程為y=0（x≠0）
（2）假設存在符合題意的點E．
由已知l₁：y-=x  聯立拋物線方程有：x²=2p（）
∴x²-=0
∴x₁=-，x₂=p  
故A（-，），B（p，p）
∵△ABE為正△
∴k_AE=-
∴AE：y-=-（x+）  即y=-x-
準線l₂：y=-∴E（-，p）
欲使△ABE為正△，則k_BE不存在．即x_B=x_E不符合
∴不存在符合條件的點E．
點評：本題以拋物線為載體，考查直線與拋物線的位置關系，解題的關鍵是直線與拋物線方程聯立，轉化為一元二次方程求解．