Question

直線AB過拋物線x²=2py（p＞0）的焦點F，并與其相交于A、B兩點，Q是線段AB的中點，M是拋物線的準線與y軸的交點，O是坐標原點．
（Ⅰ）求

MA

•

MB

的取值范圍；
（Ⅱ）過A、B兩點分別作此拋物線的切線，兩切線相交于N點，求證：

MN

•

OF

=0，

NQ

∥

OF

；
（Ⅲ）若p是不為1的正整數(shù)，當

MA

•

MB

=4P²，△ABN的面積的取值范圍為[5

5

，20

5

]時，求該拋物線的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由條件得M（0，-

p

2

），F(xiàn)（0，

p

2

）．設直線AB的方程為y=kx+

p

2

，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁²=2py₁，x₂²=2py₂，Q（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

）．由

y=kx+ p 2 x2=2py

得x²-2pkx-p²=0．由韋達定理能夠推導出

MA

•

MB

的取值范圍．
（Ⅱ）拋物線方程可化為y=

1

2p

x2，求導得y=

1

p

x．k_NA=y

x1

p

，k_NB═y

x2

p

．切線NA的方程為：y-

x12

2p

=

x1

p

(x-x1)，切線NB的方程為：y=

x2

p

x-

x22

2p

．由

y= x1 p x- x12 2p y= x2 p x- x22 2p

解得N（

x1+x2

2

，

x1x2

2p

），從而可知N點Q點的橫坐標相同但縱坐標不同．由此能夠證明

MN

•

OF

=0，

NQ

∥

OF

．
（Ⅲ）由

MA

•

MB

=4p2．又根據(jù)

MA

•

MB

=p2k2，知4p²=p²k²，而p＞0，k²=4，k=±2．由

NF

=（-pk，p），

AB

=(x2-x1，y2-y1) =(x2-x1)(1+

x1+x2 )

2p

=（x₂-x₁）（1，k），知

NF

•

AB

=(-pk，p)(x2-x1) (1，k)=(x2-x1)  (-pk-pk)=0，從而

NF

⊥

AB

．由此能夠求出拋物線的方程．

解答：解：（Ⅰ）由條件得M（0，-

p

2

），F(xiàn)（0，

p

2

）．設直線AB的方程為
y=kx+

p

2

，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則x₁²=2py₁，x₂²=2py₂，Q（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

）．（2分）
由

y=kx+ p 2 x2=2py

得x²-2pkx-p²=0．
∴由韋達定理得x₁+x₂=2pk，x₁•x₂=-p²（3分）
從而有y₁y₂=

x12x22

4p2

=

p2

4

，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+p=2pk₂+p．
∴

MA

•

MB

的取值范圍是[0，+∞）．（4分）
（Ⅱ）拋物線方程可化為y=

1

2p

x2，求導得y=

1

p

x．
∴k_NA=y

x1

p

，k_NB═y

x2

p

．
∴切線NA的方程為：y-

x12

2p

=

x1

p

(x-x1)即y=

x1

p

x-

x12

2p

．
切線NB的方程為：y=

x2

p

x-

x22

2p

（6分）
由

y= x1 p x- x12 2p y= x2 p x- x22 2p

解得

x= x1+x2 2 y= x1x2 2p

∴N（

x1+x2

2

，

x1x2

2p

）
從而可知N點Q點的橫坐標相同但縱坐標不同．
∴NQ∥OF．即

NQ

∥

OF

（7分）
又由（Ⅰ）知x₁+x₂=2pk，x₁•x₂=-p²，
∴N（pk，-

p

2

）．（8分）
而M（0，-

p

2

）∴

MN

=(pk，0)
又

OF

=(0，

p

2

)．∴

MN

•

OF

=0．（9分）
（Ⅲ）由

MA

•

MB

=4p2．又根據(jù)（Ⅰ）知

MA

•

MB

=p2k2
∴4p²=p²k²，而p＞0，∴k²=4，k=±2．（10分）
由于

NF

=（-pk，p），

AB

=(x2-x1，y2-y1) =(x2-x1)(1+

x1+x2 )

2p

=（x₂-x₁）（1，k）
∴

NF

•

AB

=(-pk，p)(x2-x1) (1，k)=(x2-x1)  (-pk-pk)=0
從而

NF

⊥

AB

．（11分）
又|

NF

|=

p2k2+p2

=

5

p，|

AB

|=y₁+y₂+p=2pk²-2p=10p，
∴S△ABN=

1

2

|NF||AB|=

1

2

×

5

p×10p=5

5

p2．
而S_△ABN的取值范圍是[5

5

，20

5

]．
∴5

5

≤5

5

，p²≤20

5

，1≤p²≤4．（13分）
而p＞0，∴1≤p≤2．
又p是不為1的正整數(shù)．
∴p=2．
故拋物線的方程：x²=4y．（14分）．

點評：本題考查數(shù)量積的取值范圍、向量平行和垂直的證明、拋物線方程的求法，解題時要認真審題，注意韋達定理、導數(shù)性質、向量運算和距離公式的靈活運用．