Question

直線AB過拋物線x²=2py（p＞0）的焦點F，并與其相交于A、B兩點，Q是線段AB的中點，M是拋物線的準線與y軸的交點，O是坐標原點．
（Ⅰ）求的取值范圍；
（Ⅱ）過A、B兩點分別作此拋物線的切線，兩切線相交于N點，求證：=0，∥；
（Ⅲ）若p是不為1的正整數(shù)，當=4P²，△ABN的面積的取值范圍為[5，20]時，求該拋物線的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由條件得M（0，-），F(xiàn)（0，）．設直線AB的方程為y=kx+，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁²=2py₁，x₂²=2py₂，Q（）．由得x²-2pkx-p²=0．由韋達定理能夠推導出•的取值范圍．
（Ⅱ）拋物線方程可化為，求導得．k_NA=y，k_NB═y．切線NA的方程為：y-=，切線NB的方程為：．由解得N（，），從而可知N點Q點的橫坐標相同但縱坐標不同．由此能夠證明=0，∥．
（Ⅲ）由．又根據(jù)，知4p²=p²k²，而p＞0，k²=4，k=±2．由=（-pk，p），=（x₂-x₁）（1，k），知，從而．由此能夠求出拋物線的方程．
解答：解：（Ⅰ）由條件得M（0，-），F(xiàn)（0，）．設直線AB的方程為
y=kx+，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則x₁²=2py₁，x₂²=2py₂，Q（）．（2分）
由得x²-2pkx-p²=0．
∴由韋達定理得x₁+x₂=2pk，x₁•x₂=-p²（3分）
從而有y₁y₂=，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+p=2pk₂+p．
∴•的取值范圍是[0，+∞）．（4分）
（Ⅱ）拋物線方程可化為，求導得．
∴k_NA=y，k_NB═y．
∴切線NA的方程為：y-=即y=．
切線NB的方程為：（6分）
由解得∴N（，）
從而可知N點Q點的橫坐標相同但縱坐標不同．
∴NQ∥OF．即（7分）
又由（Ⅰ）知x₁+x₂=2pk，x₁•x₂=-p²，
∴N（pk，-）．（8分）
而M（0，-）∴
又．∴．（9分）
（Ⅲ）由．又根據(jù)（Ⅰ）知
∴4p²=p²k²，而p＞0，∴k²=4，k=±2．（10分）
由于=（-pk，p），=（x₂-x₁）（1，k）
∴
從而．（11分）
又||=，||=y₁+y₂+p=2pk²-2p=10p，
∴．
而S_△ABN的取值范圍是[5，20]．
∴5≤5，p²≤20，1≤p²≤4．（13分）
而p＞0，∴1≤p≤2．
又p是不為1的正整數(shù)．
∴p=2．
故拋物線的方程：x²=4y．（14分）．
點評：本題考查數(shù)量積的取值范圍、向量平行和垂直的證明、拋物線方程的求法，解題時要認真審題，注意韋達定理、導數(shù)性質(zhì)、向量運算和距離公式的靈活運用．