Question

（2013•江西）如圖，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)經過點P （1，

3

2

），離心率e=

1

2

，直線l的方程為x=4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）AB是經過右焦點F的任一弦（不經過點P），設直線AB與直線l相交于點M，記PA，PB，PM的斜率分別為k₁，k₂，k₃．問：是否存在常數λ，使得k₁+k₂=λk₃？若存在，求λ的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意將點P （1，

3

2

）代入橢圓的方程，得到

1

a2

+

3

4b2

=1(a＞b＞0)，再由離心率為e=

1

2

，將a，b用c表示出來代入方程，解得c，從而解得a，b，即可得到橢圓的標準方程；
（2）方法一：可先設出直線AB的方程為y=k（x-1），代入橢圓的方程并整理成關于x的一元二次方程，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用根與系數的關系求得x₁+x₂=

8k2

4k2+3

，x1x2=

4k2-12

4k2+3

，再求點M的坐標，分別表示出k₁，k₂，k₃．比較k₁+k₂=λk₃即可求得參數的值；
方法二：設B（x₀，y₀）（x₀≠1），以之表示出直線FB的方程為y=

y0

x0-1

(x-1)，由此方程求得M的坐標，再與橢圓方程聯立，求得A的坐標，由此表示出k₁，k₂，k₃．比較k₁+k₂=λk₃即可求得參數的值

解答：解：（1）橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)經過點P （1，

3

2

），可得

1

a2

+

9

4b2

=1(a＞b＞0)  ①
由離心率e=

1

2

得

c

a

=

1

2

，即a=2c，則b²=3c²②，代入①解得c=1，a=2，b=

3

故橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1
（2）方法一：由題意可設AB的斜率為k，則直線AB的方程為y=k（x-1）③
代入橢圓方程

x2

4

+

y2

3

=1并整理得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=

8k2

4k2+3

，x1x2=

4k2-12

4k2+3

    ④
在方程③中，令x=4得，M的坐標為（4，3k），
從而k1=

y1- 3 2

x1-1

，k2=

y2- 3 2

x2-1

，k3=

3k- 3 2

4-1

=k-

1

2

注意到A，F，B共線，則有k=k_AF=k_BF，即有

y1

x1-1

=

y2

x2-1

=k
所以k₁+k₂=

y1- 3 2

x1-1

+

y2- 3 2

x2-1

=

y1

x1-1

+

y2

x2-1

-

3

2

（

1

x1-1

+

1

x2-1

）
=2k-

3

2

×

x1+x2-2

x1x2-(x1+x2)+1

    ⑤
④代入⑤得k₁+k₂=2k-

3

2

×

8k2 4k2+3 -2

4k2-12 4k2+3 - 8k2 4k2+3 +1

=2k-1
又k₃=k-

1

2

，所以k₁+k₂=2k₃
故存在常數λ=2符合題意
方法二：設B（x₀，y₀）（x₀≠1），則直線FB的方程為y=

y0

x0-1

(x-1)
令x=4，求得M（4，

3y0

x0-1

）
從而直線PM的斜率為k₃=

2y0-x0+1

2(x0-1)

，
聯立

x2 4 + y2 3 =1 y= y0 x0-1 (x-1)

，得A（

5x0-8

2x0-5

，

3x0

2x0-5

），
則直線PA的斜率k₁=

2y0-2x0+5

2(x0-1)

，直線PB的斜率為k₂=

2y0-3

2(x0-1)

所以k₁+k₂=

2y0-2x0+5

2(x0-1)

+

2y0-3

2(x0-1)

=2×

2y0-x0+1

2(x0-1)

=2k₃，
故存在常數λ=2符合題意

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了分析轉化的能力與探究的能力，考查了方程的思想，數形結合的思想，本題綜合性較強，運算量大，極易出錯，解答時要嚴謹運算，嚴密推理，方能碸解答出．