Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，以Ox軸為始邊做兩個銳角α，β，它們的終邊分別與單位圓相交于A、B兩點，已知A、B的橫坐標分別為

3 10

10

，

2 5

5

．
（1）求tan（α-β）的值； 
（2）求α+β的值．

Answer 1

分析：（1）由題可知cosα，cosβ，由同角三角函數的基本關系可得tanα=

1

3

，tanβ=

1

2

，代入兩角差的正切公式可得；（2）由（1）可得tan(α+β)=

1 3 + 1 2

1- 1 6

=1，再由α+β＜

π

2

，可得其值．

解答：解：（1）由題可知：cosα=

3 10

10

，cosβ=

2 5

5

．     （2分）
由于α，β為銳角，則sinα=

10

10

，sinβ=

5

5

（4分）
故tanα=

1

3

，tanβ=

1

2

．
則tan(α-β)=

tanα-tanβ

1+tanαtanβ

=

1 3 - 1 2

1+ 1 6

=-

1

7

（6分）
（2）∵tan(α+β)=

1 3 + 1 2

1- 1 6

=1（9分）
sinα=

10

10

＜

2

2

，sinβ=

5

5

＜

2

2

，即α+β＜

π

2

故α+β=

π

4

（12分）

點評：本題考查兩角和與差的正切函數，涉及角的范圍的確定，屬中檔題．