Question

討論函數f（x）=x+（a＞0）的單調性.

Answer 1

f（x）分別在（-∞，-］、［，+∞）上為增函數；f（x）分別在［-，0）、（0，］上為減函數

方法一 顯然f（x）為奇函數，所以先討論函數f（x）在（0，+∞）上的單調性，設x₁＞x₂＞0,則
f(x₁)-f(x₂) =（x₁+）-（x₂+）=(x₁-x₂)·（1-）.
∴當0＜x₂＜x₁≤時，＞1,
則f（x₁）-f（x₂）＜0，即f(x₁)＜f(x₂),故f（x）在（0，］上是減函數.
當x₁＞x₂≥時，0＜＜1，則f（x₁）-f（x₂）＞0,即f(x₁)＞f(x₂),
故f（x）在［，+∞）上是增函數.∵f（x）是奇函數，
∴f（x）分別在（-∞，-］、［，+∞）上為增函數；f（x）分別在［-，0）、（0，］上為減函數.
方法二 由f ′（x）=1-=0可得x=±
當x＞時或x＜-時，f ′(x)＞0，∴f（x）分別在（，+∞）、（-∞，-］上是增函數.
同理0＜x＜或-＜x＜0時，f′（x）＜0
即f（x）分別在（0，］、［-，0）上是減函數.