Question

已知函數.
（Ⅰ）若，求函數的單調區間和極值；
（Ⅱ）設函數圖象上任意一點的切線的斜率為，當的最小值為1時，求此時切線的方程.

Answer 1

（Ⅰ）的單調遞增區間為，；單調遞減區間為；極大值為；極小值為； （Ⅱ）切線的方程為：．

試題分析：（Ⅰ）注意，的定義域為（）.將代入，求導得：.由得，或，由得，由此得的單調遞增區間為，；單調遞減區間為，進而可得極大值為；極小值為. （Ⅱ）求導，再用重要不等式可得導數的最小值，即切線斜率的最小值：，由此得.由，即得，所以切點為，由此可得切線的方程．
試題解析：（Ⅰ）的定義域為（）時，                1分
當時，            2分
由得，
由得，或，由得，   3分
∴的單調遞增區間為，；單調遞減區間為    5分
∴極大值為；極小值為          7分
（Ⅱ）由題意知  ∴        9分
此時，即，∴，切點為，          11分
∴此時的切線方程為：．                13分