Question

已知函數(shù)，.
（1）若，是否存在、，使為偶函數(shù)，如果存在，請舉例并證明你的結(jié)論，如果不存在，請說明理由；
（2）若，，求在上的單調(diào)區(qū)間；
（3）已知，對，，有成立，求的取值范圍.

Answer 1

（1）存在，如，；（2）函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；
（3）實數(shù)的取值范圍是.

解析試題分析：（1）直接舉例并利用定義進(jìn)行驗證即可；（2）將，代入函數(shù)的解析式，去絕對值符號，將函數(shù)的解析式利用分段函數(shù)的形式表示出來，然后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)區(qū)間；（3）先將絕對值符號去掉，得到，并根據(jù)題中的意思將問題轉(zhuǎn)化為，然后利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解，從而求出參數(shù)的取值范圍.
試題解析：（1）存在使為偶函數(shù)，證明如下：
此時：， ，為偶函數(shù)，
（注：也可以
（2），
當(dāng)時，，在上為增函數(shù)，
當(dāng)時，，令則，
當(dāng)時，在上為減函數(shù)，
當(dāng)時，在上為增函數(shù)，
綜上所述：的增區(qū)間為，減區(qū)間為；
（3），
，成立。
即：
當(dāng)時，為增函數(shù)或常數(shù)函數(shù)，
 
       
  
       
   
綜上所述：.
考點：1.函數(shù)的奇偶性；2.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；3.全稱命題與特稱命題