Question

(本題14分)已知是函數(shù)的極值點。

（1）求實數(shù)的值；（2）若函數(shù)恰有一個零點，求實數(shù)的范圍；

（3）當時，函數(shù)的圖象在處的切線與軸的交點是。若，，問是否存在等差數(shù)列，使得對一切都成立？若存在，求出數(shù)列的通項公式；若不存在，請說明理由。

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)   或（Ⅲ）

解析:

（1）=           2

又x=0是的極值點，                                   4

（2）由（1）知

當時，，函數(shù)恰有一個零點               6

當時，，當變化時，與變化情況如下：

				0
	+	0	-	0	+
	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

由上表知函數(shù)的極大值為，又     7

由函數(shù)的圖象變化知，函數(shù)恰有一個零點時，的取值范圍為或 8

綜上所述：當時，   當時，或      9

（3），，

函數(shù)的圖象在處的切線為，     10

又其切線與軸的交點是，代入上述方程整理得    （1）

，代入（1）式整理得，     11

是等比數(shù)列，     12假設存在等差數(shù)列，使得對一切都有

      （2）

當時，    （3）

（2）-（3）得         13

又，滿足

且，即是等差數(shù)列

存在等差數(shù)列，使得對一切都有。

     14