Question

省少年籃球隊要從甲、乙兩所體校選拔隊員。現將這兩所體校共20名學生的身高繪制成如下莖葉圖（單位：cm）:若身高在180cm以上（包括180cm）定義為“高個子”，身高在180cm以下（不包括180cm）定義為“非高個子”.

（Ⅰ）用分層抽樣的方法從“高個子”和“非高個子”中抽取5人，如果從這5人中隨機選2人，那么至少有一人是“高個子”的概率是多少？
（Ⅱ）若從所有“高個子”中隨機選3名隊員，用表示乙校中選出的“高個子”人數，試求出的分布列和數學期望.

Answer 1

（Ⅰ）;
（Ⅱ）的分布列如下：

	0	1	2	3

的期望為：.

解析試題分析：（Ⅰ）根據莖葉圖可知這20名學生中有“高個子”8人，“非高個子”12人，因為采用分層抽樣的方法從中抽取5人，故抽取比例為.根據這個比例可以求“高個子”和“非高個子”所抽取的人數.然后用古典概型公式可求出所要求的概率.
（Ⅱ）據題意可知，這是一個超幾何分布. 從乙校中選出“高個子”的人數的所有可能為0，1，2，3.
由超幾何分布公式可得：

進而可得的分布列及期望.
試題解析：（Ⅰ）根據莖葉圖可知這20名學生中有“高個子”8人，“非高個子”12人，用分層抽樣的方法從中抽取5人，則應從“高個子”中抽取人，從“非高個子”中抽取人。
用表示“至少有一名‘高個子’被選中”，則它的對立事件表示“沒有一名‘高個子’被選中”，所以.
（Ⅱ）依題意知，從乙校中選出“高個子”的人數的所有可能值為0，1，2，3.

因此，的分布列如下：

	0	1	2	3

所以的期望為：.
考點：1、莖葉圖；2、古典概型；3、超幾何分布；4、離散型隨機變量的分布列及數學期望.