Question

已知數列和滿足：, 其中為實數，為正整數．
（Ⅰ）對任意實數，證明數列不是等比數列；
（Ⅱ）對于給定的實數，試求數列的前項和；
（Ⅲ）設，是否存在實數，使得對任意正整數，都有成立? 若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）見解析
（Ⅱ）
（Ⅲ）存在實數，的取值范圍是

(1)假設存在一個實數，使是等比數列，由題意知，矛盾，所以不是等比數列.
(2)由題設條件知，故當時，數列是以為首項，為公比的等比數列.
(3)由題設條件得，由此入手能夠推出存在實數，使得任意正整數n,都有 ,的取值范圍為.
解：（Ⅰ）證明：假設存在一個實數，使｛｝是等比數列，
則有,
即矛盾．
所以｛｝不是等比數列．   ………………………4分
（Ⅱ）因為
又，所以
當，，此時
當時，，，
此時，數列｛｝是以為首項，為公比的等比數列．
∴  ……………………8分
（Ⅲ）要使對任意正整數成立，
即

當為正奇數時，
∴的最大值為, 的最小值為,
于是，由（1）式得
當時，由，不存在實數滿足題目要求；
當存在實數，使得對任意正整數，都有,且的取值范圍是…………………………12分