Question

如圖，三棱錐中，底面于，，，點是的中點.

（1）求證：側面平面；

（2）若異面直線與所成的角為，且，

求二面角的大小.

 

Answer 1

【答案】

(1)對于線面垂直的證明，主要是利用判定定理，然后結合這個條件來得到面面垂直的證明。

(2)

【解析】

試題分析：解：（1）∵底面，平面，

∴ 平面平面， 又∵，

平面平面， ∴ 平面   3分

而 平面 ∴側面平面.   5分

（2）取的中點，則是的中位線

故，所以就是異面直線與所成的角，   7分

設，則在中，，

在中，，∴ ，

而，∴ ,即.   9分

過作于點，連. ∵ ，底面

∴ 底面，從而，又∵，

∴平面，從而，

所以就是二面角的平面角.    11分

由，得 ， 由∽，

可得，即  解得，

在中，，所以，

故二面角的大小為.     14分

解法2：如圖，以為原點，以分別為軸建立直角坐標系.

設，則，，，

，從而.

∴，，   7分

∵異面直線與所成的角為，且，

∴，

又，

從而，解得...    9分

∴，，，

設平面的法向量為，則由 

得 ，   令，得.   11分

又平面的法向量為，    12分

∴，∴ ，

所以二面角的大小為.   14分

考點：面面垂直，二面角

點評：主要是考查了空間幾何體中垂直的證明以及異面直線的角和二面角的平面角的借助于向量來求解，屬于中檔題。