Question

（2012•上海）海事救援船對一艘失事船進行定位：以失事船的當前位置為原點，以正北方向為y軸正方向建立平面直角坐標系（以1海里為單位長度），則救援船恰好在失事船正南方向12海里A處，如圖，現假設：
①失事船的移動路徑可視為拋物線y=

12

49

x2；
②定位后救援船即刻沿直線勻速前往救援；
③救援船出發t小時后，失事船所在位置的橫坐標為7t
（1）當t=0.5時，寫出失事船所在位置P的縱坐標，若此時兩船恰好會合，求救援船速度的大小和方向．
（2）問救援船的時速至少是多少海里才能追上失事船？

Answer 1

分析：（1）t=0.5時，確定P的橫坐標，代入拋物線方程y=

12

49

x2中，可得P的縱坐標，利用|AP|=

949

2

，即可確定救援船速度的大小和方向；
 （2）設救援船的時速為v海里，經過t小時追上失事船，此時位置為（7t，12t²），從而可得vt=

(7t)2+(12t2+12)2

，整理得v2=144(t2+

1

t2

)+337，利用基本不等式，即可得到結論．

解答：解：（1）t=0.5時，P的橫坐標x_P=7t=

7

2

，代入拋物線方程y=

12

49

x2中，得P的縱坐標y_P=3．…2分
由|AP|=

949

2

，得救援船速度的大小為

949

海里/時．…4分
由tan∠OAP=

7

30

，得∠OAP=arctan

7

30

，故救援船速度的方向為北偏東arctan

7

30

弧度．…6分
（2）設救援船的時速為v海里，經過t小時追上失事船，此時位置為（7t，12t²）．
由vt=

(7t)2+(12t2+12)2

，整理得v2=144(t2+

1

t2

)+337．…10分
因為t2+

1

t2

≥ 2，當且僅當t=1時等號成立，所以v²≥144×2+337=25²，即v≥25．
因此，救援船的時速至少是25海里才能追上失事船．…14分

點評：本題主要考查函數模型的選擇與運用．選擇恰當的函數模型是解決此類問題的關鍵，屬于中檔題．