Question

已知函數f(x)=a^|x|+ (a>0,a≠1)

（1）若a>1，且關于x的方程f(x)=m有兩個不同的正數解，求實數m的取值范圍；

（2）設函數g(x)= f( x)，x∈[ 2，+∞），滿足如下性質：若存在最大（小）值，則最大（小）值與a無關.試求a的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）實數的取值范圍為區間；（2）實數a的取值范圍是.

【解析】

試題分析：（1）令,換元將問題轉化為關于的方程有相異的且均大于1的兩根，利用二次函數的性質解答即可；（2）算得，分類討論①當，②當，再分，討論解答.

試題解析：(1)令，，因為，所以，所以關于的方程有兩個不同的正數解等價于關于的方程有相異的且均大于1的兩根，即關于的方程有相異的且均大于1的兩根，                2分

所以，                         4分

解得，故實數的取值范圍為區間.           6分

(2)

①當時，

a)時，，，所以 ，

b)時，，所以   8分

ⅰ)當即時，對，，所以 在上遞增，

所以 ，綜合a) b)有最小值為與a有關，不符合 10分

ⅱ)當即時，由得，且當時，，當時，，所以 在上遞減，在上遞增，所以，綜合a) b) 有最小值為與a無關，符合要求．   12分

②當時，

a) 時，，，所以

b) 時，，，

所以  ，在上遞減，

所以 ，綜合a) b) 有最大值為與a有關，不符合  15分

綜上所述，實數a的取值范圍是．                  16分

考點：二次函數、利用導數求函數單調區間、利用導數求函數最值、分類討論思想.