Question

已知函數f（x）=x²+（x-1）|x-a|．
（1）若a=-1，解方程f（x）=1；
（2）若函數f（x）在R上單調遞增，求實數a的取值范圍；
（3）是否存在實數a，使得g（x）=f（x）-x|x|在R上是奇函數或是偶函數？若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）當a=-1時，f（x）=x²+（x-1）|x+1|，
故有，f(x)=

2x2-1，x≥-1 1，x＜-1

，
當x≥-1時，由f（x）=1，有2x²-1=1，解得x=1，或x=-1．
當x＜-1時，f（x）=1恒成立，
∴方程的解集為{x|x≤-1或x=1}．
（2）f(x)=

2x2-(a+1)x+a，x≥a (a+1)x-a，x＜a

，
若f（x）在R上單調遞增，
則有

a+1 4 ≤a a+1＞0

，解得，a≥

1

3

．
∴當a≥

1

3

時，f（x）在R上單調遞增．
（3）g（x）=x²+（x-1）|x+a|-x|x|，
∵g（1）=0，g（-1）=2-2|a-1|，
若存在實數a，使得g（x）在R上是奇函數或是偶函數，
則必有g（-1）=0，
∴2-2|a-1|=0，∴a=0，或a=2．
①若a=0，則g（x）=x²+（x-1）|x|-x|x|=x²-|x|，
∴g（-x）=g（x）對x∈R恒成立，∴g（x）為偶函數．
②若a=2，則g（x）=x²+（x-1）|x+2|-x|x|，
∴g（2）=4，g（-2）=8，∴g（-2）≠g（2）且g（-2）≠-g（2），
∴g（x）為非奇非偶函數，
∴當a=0時，g（x）為偶函數；當a≠0時，g（x）為非奇非偶函數．